Ο βαθμός κινηματικής αοριστίας του φορέα είναι 3. Δύο στροφές στους κόμβους του ζυγώματος και μία οριζόντια μετακίνηση.
Παγιώνω το φορέα με δυο πακτώσεις στους κόμβους του ζυγώματος, που αποτρέπουν τις στροφές των κόμβων, και μια κατακόρυφη κύλιση στον πάνω δεξιά κόμβο, που αποτρέπει την οριζόντια μετακίνηση του φορέα.
Λόγω του ομοιόμορφου κατανεμημένου φορτίου που ασκείται στο αμφίπακτο ζύγωμα, έχω δύο αρνητικές ροπές παγίωσης (-ql2/12) στα άκρα του ζυγώματος και κρέμαση παραβολής στο διάγραμμα ροπών.
Όταν απελευθερώσω τις πακτώσεις παγίωσης, οι αρνητικές ροπές παγίωσης (-ql2/12) που ασκούνται στους κόμβους, βάσει της συνολικής ακαμψίας του κάθε κόμβου, τους στρέφουν προς τα μέσα. Οι στροφές αυτές μειώνουν κατά απόλυτη τιμή την αρνητική τιμή των ροπών στα άκρα του ζυγώματος.
Ο αριστερά κόμβος έχει ακαμψία 4EI/l από το οριζόντιο αμφίπακτο μέλος και 4EI/h από το κατακόρυφο αμφίπακτο μέλος, δηλαδή συνολικά [4EI/l + 4EI/h], ενώ ο δεξιά κόμβος έχει ακαμψία 4EI/l από το οριζόντιο αμφίπακτο μέλος και 3EI/h από το κατακόρυφο μονόπακτο μέλος, δηλαδή συνολικά [4EI/l + 3EI/h]. Άρα ο αριστερά κόμβος έχει μεγαλύτερη συνολική ακαμψία και συνεπώς στρίβει λιγότερο από τον δεξιά κόμβο κάτω από την ίδια φόρτιση (-ql2/12), δηλαδή κατά απόλυτη τιμή Φαρ < Φδεξ. Οι στροφές είναι ανάλογες της συνολικής ακαμψίας των δύο κόμβων, και είναι της ίδιας τάξης μεγέθους, απλώς λίγο διαφορετικές στην τιμή τους.
Η στροφή στα αριστερά προσθέτει στη ροπή του ζυγώματος στα αριστερά (+4EI/l)Φαρ και στα δεξιά (-2EI/l)Φαρ.
Η στροφή στα δεξιά προσθέτει στη ροπή του ζυγώματος στα δεξιά (+4EI/l)Φδεξ και στα αριστερά (-2EI/l)Φδεξ.
Ας μην ξεχνάμε ότι επειδή η κάθε στροφή σε κάποιο άκρο ενός αμφίπακτου μέλους δημιουργεί εκτός από τη ροπή (4EI/l)Φ στο ίδιο το άκρο του μέλους και μια αντίθετου προσήμου ροπή (2EI/l)Φ στο απέναντι άκρο, δευτερογενώς δημιουργείται νέα στροφή στον κόμβο του απέναντι άκρου, όπως έχει αναπτυχθεί στη μέθοδο Cross, η οποία βέβαια είναι μικρότερης τάξης μεγέθους από την αρχική. Αυτή η νέα στροφή στον απέναντι κόμβο προκαλεί με τη σειρά της νέα στροφή ακόμα μικρότερου μεγέθους στον αρχικό κόμβο κ.ο.κ. Το ίδιο ισχύει και για τις μετακινήσεις των άκρων των μελών, που δημιουργούν νέες ροπές στους κόμβους οι οποίες προκαλούν με τη σειρά τους νέες στροφές. Επίσης, όλες αυτές οι παραμορφώσεις και οι αντίστοιχες ροπές που αναπτύσσονται σε κάθε στάδιο, δημιουργούν λόγω ισορροπίας και τις αντίστοιχες τέμνουσες, οι οποίες βάσει της ισορροπίας του φορέα πρέπει να εξισορροπηθούν, και συνεπώς αυτές οι τέμνουσες με τη σειρά τους προκαλούν νέες μετατοπίσεις κ.ο.κ. μέχρι να ισορροπήσει όλος ο φορέας στην τελική του θέση. Οι παραμορφώσεις αυτές είναι όμως είναι όλο και μικρότερες σε κάθε στάδιο, και συνεπώς μετά το δεύτερο στάδιο μπορούν να αγνοηθούν στη χάραξη των ποιοτικών διαγραμμάτων. Το δεύτερο στάδιο, όμως, πρέπει να ληφθεί υπόψη, γιατί οδηγεί στη λεπτομερέστερη ποιοτική προσέγγιση των παραμορφώσεων και εντάσεων του φορέα.
Η στροφή στα αριστερά δημιουργεί στο κατακόρυφο αμφίπακτο μέλος τέμνουσες (-6EI/h2)Φαρ.
Η στροφή στα δεξιά δημιουργεί στο κατακόρυφο μονόπακτο μέλος τέμνουσες (+3EI/h2)Φδεξ.
Οι αριστερές τέμνουσες είναι κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερες από τις δεξιές. Προσοχή, επειδή Φαρ < Φδεξ, ο λόγος τους δεν είναι ακριβώς 2/1 αλλά κάτι λιγότερο από 2 φορές.
Επειδή, ως γνωστόν, από την ισορροπία του φορέα πρέπει να ισχύει ΣFx=0, και οι δύο τέμνουσες δεν είναι ίσες και αντίθετες, άρα και οι οριζόντιες αντιδράσεις του φορέα δεν είναι ίσες και αντίθετες, αναπτύσσεται αντίδραση στην κατακόρυφη κύλιση παγίωσης, η οποία πιέζεται προς τα δεξιά με δύναμη ίση με τη διαφορά των οριζοντίων αντιδράσεων στήριξης, δηλαδή των τεμνουσών των κατακορύφων μελών.
Όταν απελευθερώσω την κατακόρυφη κύλιση παγίωσης, ο φορέας θα μετακινηθεί προς τα δεξιά, λόγω της διαφοράς των τεμνουσών των κατακορύφων μελών.
Η μετακίνηση αυτή δημιουργεί στο αριστερά κατακόρυφο αμφίπακτο μέλος τέμνουσες (+12EI/h3)u.
Η μετακίνηση αυτή δημιουργεί στο δεξιά κατακόρυφο μονόπακτο μέλος τέμνουσες (+3EI/h3)u.
Η μετακίνηση που πραγματοποιείται είναι τέτοια ώστε οι αριστερά τέμνουσες να γίνουν συνολικά ίσες και αντίθετες με τις δεξιά τέμνουσες, οπότε θα αποκατασταθεί η ισορροπία του φορέα κατά τη διεύθυνση x.
Ισχύει [(-6EI/h2)Φαρ + (+12EI/h3)u] = - [(+3EI/h2)Φδεξ + (+3EI/h3)u]
Αυτή η μετακίνηση δημιουργεί στους κόμβους του ζυγώματος ροπές στα αριστερά (+6EI/h2)u και στα δεξιά (-3EI/h2)u, οι οποίες με τη σειρά τους δευτερογενώς δημιουργούν νέες στροφές, και μεταβολές στις τιμές των ακραίων αρνητικών ροπών του ζυγώματος, και συγκεκριμένα μείωση κατά απόλυτη τιμή της αριστερά ακραίας αρνητικής ροπής του ζυγώματος και αύξηση κατά απόλυτη τιμή της δεξιά ακραίας αρνητικής ροπής του ζυγώματος.
Τελικά, ποιο άκρο του ζυγώματος έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή ροπής; Το αριστερά ή το δεξιά; Η απάντηση σε λίγο.
Χάραξη διαγράμματος [Q]
Στο ζύγωμα η τέμνουσα έχει τραπεζοειδή μορφή λόγω του ομοιόμορφου κατανεμημένου φορτίου, αριστερά έχω θετική τιμή και δεξιά αρνητική τιμή.
Στα κατακόρυφα μέλη, οι τέμνουσες είναι σταθερές λόγω μη ύπαρξης οριζόντιας εξωτερικής φόρτισης, και όπως έχει ήδη αναφερθεί είναι ίσες και αντίθετες.
Σύμφωνα με την προηγούμενη ανάλυση, στα αριστερά η τέμνουσα είναι αρνητική και στα δεξιά θετική.
Χάραξη διαγράμματος [M]
Αριστερά, έχω αμφίπακτο μέλος, με θετική ροπή κάτω και αρνητική ροπή επάνω. Λόγω της αρχικής στροφής, η πάνω ροπή είναι αρχικά ακριβώς διπλάσια της κάτω, άλλα λόγω της οριζόντιας μετακίνησης υπάρχει τελικά μια μικρή και ίση μεταβολή των τιμών.
Δεξιά, έχω μονόπακτο μέλος, άρα η ροπή κάτω είναι μηδέν επειδή έχω άρθρωση, και πάνω είναι αρνητική.
Ως γνωστόν, η ροπή είναι το ολοκλήρωμα της τέμνουσας, άρα αφού στα κατακόρυφα μέλη οι τέμνουσες είναι ίσες και αντίθετες, οι κλίσεις του διαγράμματος των ροπών είναι ίσες και αντίθετες.
Επειδή, όμως, στα αριστερά η ροπή ξεκινάει στη βάση από μια θετική τιμή και καταλήγει σε μια αρνητική τιμή, ενώ στα δεξιά η ροπή ξεκινάει στη βάση από το μηδέν και καταλήγει σε μια αρνητική τιμή, η απόλυτη τιμή της ροπής δεξιά είναι μεγαλύτερη.
Από την ισορροπία των κόμβων του ζυγώματος, προκύπτει ότι η άνω ακραία αρνητική ροπή του αριστερά αμφίπακτου μέλους είναι ίση με την αριστερά ακραία αρνητική ροπή του ζυγώματος, και η άνω ακραία αρνητική ροπή του δεξιά μονόπακτου μέλους είναι ίση με την δεξιά ακραία αρνητική ροπή του ζυγώματος.
Τελικά, στο ζύγωμα έχω κρέμαση παραβολής, με τη δεξιά ακραία ροπή να είναι κατά απόλυτη τιμή λίγο μεγαλύτερη της αριστερά ακραίας ροπής.
Άρα η παραβολή γέρνει λίγο προς τα δεξιά, και το χαμηλότερο σημείο της (μέγιστη θετική ροπή και σημείο μηδενισμού της τέμνουσας) βρίσκεται στη μέση και λίγο προς τα δεξιά.
Άρα και στο διάγραμμα τεμνουσών, το σημείο μηδενισμού της τέμνουσας βρίσκεται λίγο προς τα δεξιά και συνεπώς κατά απόλυτες τιμές η θετική τιμή της στα αριστερά είναι λίγο μεγαλύτερη από την αρνητική τιμή της στα δεξιά.
Ενημερώση κάθε 15 δευτερόλεπτα
από protos » Τετ, 02 Απρ 2014 5:56 pm 
