Διαφορικές Εξισώσεις

Περιγραφή:

Η μελέτη των Διαφορικών Εξισώσεων. Ποιοτική θεωρία και βασικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων. Εφαρμογές με μοντελοποίηση φυσικών προβλημάτων



Ύλη
Εισαγωγή
Προέλευση χρησιμότητα, Μαθηματικά μοντέλα, έννοια και ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων, η έννοια της λύσης, προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών, καλά τοποθετημένα προβλήματα.

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
Γραμμικές, Xωριζομένων μεταβλητών, Ακριβείς και με ολοκληρώνοντες παράγοντες, Ομογενείς, Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας, Μοντελοποίηση φυσικών προβλημάτων

Γραμμικές διαφορικές
Γενική θεωρία ομογενών, Γραμμική ανεξαρτησία συναρτήσεων ή λύσεων και ορίζουσα Wronski, Το θεώρημα του Abel, Υποβιβασμός τάξης-μέθοδος d΄Alembert, Μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις, μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων-μέθοδος Lagrange, Εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, Χαρακτηριστικό πολυώνυμο-απλές, πολλαπλές, μιγαδικές ρίζες, Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών.

Μετασχηματισμός Laplace
Ορισμός. Επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών. Οι συναρτήσεις Heaviside και Dirac, Εξισώσεις με ασυνεχή μη ομογενή όρο. Θεώρημα της συνέλιξης. Εξισώσεις τύπου Volterra.

Συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης
Ομογενή γραμμικά με σταθερούς συντελεστές, Μιγαδικές, Πολλαπλές ιδιοτιμές, το επίπεδο φάσεων, Αυτόνομα συστήματα και ευστάθεια, Μη ομογενή γραμμικά συστήματα.

Επίλυση Γραμμικών Δεύτερης Τάξης με τη Μέθοδο των Δυναμοσειρών
Λύσεις σε περιοχή ομαλού σημείου, Εξίσωση Legendre, Πολυώνυμα Legendre, Η εξίσωση Euler, Λύσεις σε περιοχή κανονικού ιδιάζοντος σημείου, Η εξίσωση Bessel.

Τριγωνομετρικές Σειρές Fourier
Συντελεστές Fourier-Euler, Θεώρημα σύγκλισης, Άρτιες, περιττές συναρτήσεις- συνημιτονικά, ημιτονικά αναπτύγματα, Μιγαδική μορφή σειρών Fourier.

Προβλήματα Συνοριακών Τιμών
Ομογενή προβλήματα Sturm-Liouville, ιδιοτιμές και ιδιολύσεις

Χωρισμός μεταβλητών

Η κυματική εξίσωση – ταλαντώσεις ελαστικής χορδής. Η λύση D’Alebert. Η μέθοδος χωρισμού μεταβλητών σε δύο και τρεις διαστάσεις Προτυποποίηση φυσικών προβλημάτων.




Ώρες εβδομαδιαίως:5

Διδάσκοντες:
Κ. Κυριάκη (Συντονίστρια)
Δ. Γκιντίδης
Ε. Δούκα


Το μάθημα προέκυψε από την ενοποίηση των μαθημάτων Διαφορικές Εξισώσεις και Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις και Μιγαδικές Συναρτήσεις που καταργήθηκαν το 2017.Παλιά Θέματα αυτών των μαθημάτων μπορείτε να δείτε στα παρακάτω links:
university/courses.php?id=40
university/courses.php?id=46